小さな池

経済学に関わっていそうなことを書いていたり、書いていなかったり。

集合と位相Ⅰ　第2回　集合

大学数学

f:id:LimeSword:20170421190653j:plain

今日も集合と位相の授業受けてきました

教室を見渡して人数を数えたところ

11人しかいませんでした！

基本的なところから

$x \in M$

というのは

xが元(または要素)でMが集合ということを表している

って知ってるか

メジャーな集合

$N　自然数全体$

$Z　整数全体$

$Q　有理数全体$

$R　実数全体$

$C　複素数全体$

$H　四元数全体$

$P　素数全体$

黒板とかノートとかに書くときは太字やっていうのをはっきりさせるために太い部分を二重線にしたりしてる

四元数ってなんやねん

四元数ってなんやねん

って僕は思った

どうやら

$H = ｛ a+bi+cj+dk｜a,b,c,d∈R ｝$

$i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1$

$ij=k, jk+i, ki+j$

$ji=-k, kj=-i, ik=-j$

っていうハミルトンさんが考えた数なんやそうや

注目すべきなんは交換法則成り立ってへんってことやろか

昔ベクトルの外積を表すのに都合が良かったって教えられたけど

今は何につかってるか僕にはさっぱりや

ぜひ自分で調べて小池

そのほか

$A⋃B　共通部分$

$A⋂B　合併集合(和集合)$

$A-B　差集合$

$∅　空集合$

$A^{c}（または \begin{eqnarray} \overline{A} \end{eqnarray}）　補集合$

まあ知ってるか

空集合について

$∅⊂A　は　どんなAについても真$

どんな集合も空集合を部分集合にもつっていうことや

まあ数字の0みたいな感じ

数字の0も　足しても引いても何もないけど数字やん？

空集合である∅も　何もないけど集合なんや

ほか

$A⊂B　AはBの部分集合$

$A⋢B　AはBの真部分集合$

部分集合と真部分集合について

A⊂Bっていうたら

A＝Bっていう場合も考えられるんや

まあ

$B=｛1,2｝$

やとしたら

Bの部分集合としてありえるのは

Aが部分集合の場合は

つまり

$A⊂B$

やったら

$A=｛∅｝｛1｝｛2｝｛1,2｝$

っていうのが考えられるすべてのA

もし

AがBの真部分集合やったら

$A⊊B$

やったら

$A=｛∅｝｛1｝｛2｝$

や

自分自身は入らへん

高校では

$\subseteqq$

とかいう記号があるけど

これは大学ではつかわへんっていうか知らんうちに高校数学で使われだしただけやそうや

とにかくこの記号は

つかわへん

せやから

とりわけ真部分集合って表現したい！って時は

$⊊$

を使う

ほか

$A×B=｛(x,y)｜x∈A, y∈B｝　積集合$

積集合っていうのがあるんやけど

これはまあ

例を挙げると座標やな

ほんでもって

積集合を考えるときは集合を直線で表すんや

座標でいうたら

x軸とy軸みたいな感じ

普通の集合やったらベン図とかで袋みたいに表すけど

そんなことしたら座標とかを2次元で表現できへんから直線で集合を表現してるそうや

ちなみに平面やったら

$R^{2}　平面$

これは

$R×R$

であって

集合 $R$ ２つの直積って言うんやそうや

$R^{3}　3次元空間$

とかもある

これは

$R×R×R$

やな

次

Aの部分集合全体は

$\wp(A) = 2^{A}$

って書いてこの

$\wp$

は花文字っていうねんけど普通に $P$ で書いて問題ないそうや

ほんで部分集合全体っていうのは

$A=｛1,2｝$ やとしたら

$｛∅｝｛1｝｛2｝｛1,2｝$

の4種類

まあそれぞれの要素が含まれるか含まれないかの2択

やから $2^{n}$ 種類になるのは当たり前やな

集合の基本性質

結合法則と交換法則と分配法則は全部成り立つ

ドモルガンの法則

全体集合を $X$ とすると、任意の部分集合 $A　B$ に対して

$X-(A⋃B)=(X-A)⋂(X-B)$

$X-(A⋂B)=(X-A)⋃(X-B)$

まあベン図書いたらわかると思う