集合と位相Ⅰ 第1回 論理

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勢い余って発展の講義とってしまった!!!

えーと

1年生がいない!!

って感じでした

注意

ただの大学1年生がかいてることやから

完璧!!正しい!! とかいう保証はかけらほどもないんやで

使用教科書

『集合と位相空間の基礎・基本 (牧野書店)』

命題

命題というのは

かのどちらかに分類される文章

なんやそうや

例えば

P「15は奇数である」

っていうのとか

Q「13は2で割れる」

とか

まあ

Pは真でQは偽やねんけど

こういうのは命題っていう

せやけど

R「15は素敵な数字である」

っていうのは

真か偽で言われへんから

命題ちゃうんや

否定命題

Pが真のときには偽で

偽のときには真

ってなるような命題を否定命題っていうて

P

の否定命題は

\neg P

って表記する

P「12は2で割り切れる」

があるとしたらや

\neg P「12は2で割り切れない」

みたいな感じかな

真理表

真偽を表で表したらこうなるっていうやつ

真偽をtrueとfalseで表すと

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その他の記号

\vee または

\wedge かつ

\Rightarrow ならば

\Leftrightarrow 同値記号

まあ大体知ってると思う

ならば について

P\Rightarrow Q

ってあったとき

Pは前提または仮定

Qは結論

っていう

真理表は以下の通り

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え???

ってなるかもしれへん

3行目とか4行目とか

せやけど

前提が偽やったら結論が何であっても 全体で真

っていうことなんやって

トートロジー

常に真である命題のことをトートロジーっていう

P\vee(\neg P)

っていうのはトートロジー

同値

真理表の並びが一致したら同値っていう

ドモルガンの法則

\neg(P\vee Q)\Leftrightarrow(\neg P)\wedge(\neg Q)

\neg(P\wedge Q)\Leftrightarrow(\neg P)\vee(\neg Q)

まあフィーリングでわかると思う

各種法則

P\vee (Q\vee R)\Leftrightarrow (P\vee Q)\wedge R

P\wedge (Q\wedge R)\Leftrightarrow (P\wedge Q)\wedge R

  • 交換法則

P\vee Q\Leftrightarrow Q\vee P

P\wedge Q\Leftrightarrow Q\wedge P

  • 分配法則

P\vee(Q\wedge R)\Leftrightarrow (P\vee Q)\wedge (P\vee R)

P\wedge (Q\vee R)\Leftrightarrow (P\wedge Q)\vee (P\wedge R)

が成り立つ

なんでこんな当たり前のこと…

って僕も最初おもってんけど

なんか他の分野で交換法則なりたたへんこととかあったから

成り立たないものがあるんやったら

成り立つものに関してはちゃんと成り立つんや!!

ってことを理解しとかなあかんやん?

第1回のまとめ

まあ何をするにしてもまず最初に 論理 について整理せなあかんやん

っていう意図があるんやと思う